线性组合及向量张成的线性空间

线性组合(Linear Combination)概念很简单

设有一系列向量v，从v₁到vₙ，它们都在同一个空间中，如Rⁿ

这些向量的线性组合就是将这些向量加在一起，从v₁一直加到vₙ，可以将每一项乘以任何一个常数，比如分别乘以c₁一直到cₙ，c₁到cₙ都属于实数。

我们来举一个例子深入了解一下向量的线性组合。设有向量a和向量b如下所示：

而下面都是合理的向量a与向量b的线性组合，向量a乘以任意常量加上向量b乘以任意常量即为向量组合

那为什么这个要叫“线性组合”呢？

因为我们只是对向量进行缩放（乘以任意标量）和相加，都是线性操作，而不是对向量进行乘法操作（目前我们也暂未学习到向量的乘法定义），进行乘法操作会使结果变为非线性的，故此称以上这些操作为“线性组合”。

那为什么要引入“线性组合”这个概念呢？

我们可以通过线性组合来很方便的方式来表示向量空间中的任意向量，使用有限个数的向量加法和向量与标量的乘法我们就能表示出空间中的任意向量。

比如上面例子中的向量a和向量b，它们都属于R²空间中的向量，而它们并不共线，所以我们可以通过这2个向量的组合表示出R²空间中的任意向量。

例如向量(3,0)可以通过以下的向量组合得到

向量(2,-5)可以通过以下向量组合得到

向量张成的线性空间(span of vectors)

我们可以通过向量a和向量b的线性组合覆盖R²空间中所有的点。那我们可以说向量a和向量张成的线性空间等于R²。

即我们可以用向量a和向量b的线性组合表示R²中的任意向量

那么任意2个向量的组合都可以这么做吗？

我们假设向量a和向量b如下

我们可以对向量a和向量b乘以任何系数并组合，但是得到的向量只能在这条虚线上，即它们的张成空间只是这条直线，我们无法通过这2个向量的线性组合得到向量c。所以并不是任意2个向量的组合可以表示空间R²，它们需要不共线。

那么0向量张成的线性空间等于什么呢

0向量的线性组合等于它本身，因为0乘以任何数都等于0。

接下来，回到最初的那个例子

那么向量a张成的线性空间是什么呢？因为向量a乘以系数c只能对其缩放，所以向量a张成的线性空间是一条直线。

比较常见的单位向量i(1,0)和j(0,1)，它们是正交的，它们构成了R²空间的基底。

我们可以用向量i和j的线性组合表示R²上的任何向量

张成的空间(张成子空间)的数学定义

用文字表达的话，可以说：张成的空间即给定向量所能组合出的所有向量的集合。

代数证明

我们用代数来证明2个不共线的向量的线性组合可以表示出R²上的任意向量

设向量a和b，它们不共线，那么它们可以表示出R²上的向量x

即

现在，比如我要求向量(2,2)关于向量a和向量b的线性组合是什么（即求权重c₁，c₂），代入公式，得到结果

即如下的向量a和向量b的线性组合可以得到向量(2,2)