高斯约旦消元法求解三元方程组

设有一个三元方程组，如下。我们从前一篇文章中了解到，这些三元线性方程在三维空间中其实表示一个平面，如果这些平面不平行或者不重合的话，这个方程组其实就是求在三维空间中哪个点同时存在于这3个平面上。

通过初中的知识，我们其实已经可以求解出上面这个方程组，但是这里我们尝试使用【高斯约旦消元法】来求解。接下来我们将按照顺序，将二三行的x消去，然后将第三行的y消去，这样就能求得z的值，进而求得y和x的值。

我们根据上面的方程组写一个增广矩阵，格式如下

我们可以对这些数据进行有效行操作，具体可以参考高斯约旦消元法那篇文章。

这里我们要将第二行的x消去的话，可以在第二行的基础上加上(第一行×3)，得到如下

然后要将第三行的x消去的话，可以在第三行的基础上加上(第一行×2)，得到如下

这样我们就把二三行的x消去了，接下来我们继续消去第三行的y，我们可以在第三行的基础上加上(第二行×6)，结果如下

这样第三行就只剩z了，我们将两侧都除以-31就得到z的值

所以z的值就是-2。我们就可以通过第二行得到y的值，进而通过第一行得到x的值。

这里这个矩阵其实是上三角矩阵，即主对角线以下都是零。它其实与下面这个方程组等价

依次往上代入，我们可以得到y=3，x=-1。

所以这个三元方程组的解就是 x=-1   y=3   z=-2，即在三维空间中，点(-1, 3, -2)同时存在于这3个平面上。