直线的参数表示

我们先定义一个向量V

我们将其画在坐标系的标准位置，即从原点出发。

现在我想问一个问题，和这个向量共线的所有向量要怎么表示呢？我们用集合来定义一下，用S表示。

用任意属于实数的标量t来乘以v，这样就能定义出这样一个集合。

这个集合在图像上显示成类似这样一条直线。

这是共线的向量的集合。

如果把这些向量看作是位置向量，即坐标，那么这个向量V其实就代表R²平面上的一个点，而这个集合就表示一条直线。这里的V代表了直线的斜率，所以也可以把它看作是斜率向量。

那么要怎么表示经过某点且与上面那条直线平行的一条线呢？

比如经过点x(2,4)，我们也可以用向量来表示

如何表示与原直线平行且经过点(2,4)的直线呢？即下面图中这条蓝色的直线

其实从图中我们就已经可以看到答案了，就在原直线的集合上加上x就可以表示这条蓝色的直线，我们可以用下面这个集合表达式来写

可能有人要问，为什么要用这么复杂的形式来表示直线，为什么不用y=kx+b的形式来表示呢，理由是，上面这种集合和向量的表达形式具有一般性，它可以拓展到更高的维度，3维、50维、100维都可以这么表示。

再举另外一个例子，设有2个向量，a和b

再R²平面上按照标准形式（即以原点作为起点）来画，这样向量也可以看做是R²上面的点，如下

那么现在要求经过这2个点的直线的参数化形式（本质是求方程），要怎么求呢？

通过之前的知识，我们可以知道向量b减去向量a，等于如图所示的黄色的向量，类似于三角形的第三条边

但是如果要画成标准格式的话（起点从原点开始），会是这样的

这不是我们要的最终结果，我们还要将其平移，可以加上向量b，或者向量a。（如下图中紫色箭头那样加上向量b）

这样我们就能得到那条蓝色的虚线，即我们要求的经过向量a和向量b的直线。它的集合表达式如下

或者

代入向量的值

这里向量的上半部分代表x，下半部分代表y

那么我们就可以写出这条直线的参数方程了

现在看来，使用这种方法好像多此一举，但是如果拓展到3维、50维等更高维度的空间，这种表示方法的优势就显而易见了。比如三维空间中，表示经过2个点的直线就能使用这种方法，而且在R³和更高的维度中，表示直线的方法也只能用参数方程。类似x+y+z=k之类的方程并不是表示一条线，而是一个平面。