奇异矩阵

如果一个方阵没有逆或者说它的逆没有定义，那么我们称这个矩阵为“奇异矩阵(singular matrix)”，那么奇异矩阵由什么特点呢？

我们先回顾下我们之前求逆时的公式

假设有一个矩阵A

那么它的逆矩阵可以这么求，1除以A矩阵的行列式再乘上A矩阵的伴随矩阵。

而在分数中，分母为0会使得这个分数没有意义，所以这里的|A|，即A的行列式如果为0，那么我们称这个矩阵A没有逆，即矩阵A是奇异矩阵。

符合以下任意条件的矩阵都是奇异矩阵，其实这4个基本相同，只是稍微转换了一下

奇异矩阵的直观体现

但是，我们还可以深入探讨一下：

1、行列式为0表示什么？

2、能否通过一些比较直观的形式判断一个矩阵是否可逆？

体现一：直线方程组

比如我们将这个奇异矩阵代入一个方程组

它其实可以分解成1个包含2个方程式的方程组

进而得到y

而如果矩阵A是奇异矩阵的话， a/b 是等于 c/d的，那么这2条直线会有相同的斜率，那么这2条直线要么互相平行永不相交，要么就是完全重叠。

体现二：线性组合

我们将上面的方程组改成使用线性组合的方式表示

是否有某种[a c]和[b d]的组合可以得到[e f]呢？

我们知道在奇异矩阵中

那么这里的向量[a c]和向量[b d]，如果从0出发的话，应该是相同或者有重叠的。可是这里的线性组合中，向量乘以标量xy的话只能对向量位移，但是不能修改向量的方向，故他们无法组合得到向量[e f]。